Définition
Définition d'un groupe cyclique :
- soit \(G\) un groupe
- \(G\) est monogène
- \(G\) est fini
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(G\) est un groupe cyclique
(
Groupe monogène)
Propriétés
Groupes de Sylow
Rappel :
Soit \(G\) un groupe cyclique d'ordre \(m=p^\alpha n\), avec \(p\wedge n=1\)
Alors le choix d'un générateur \(g\) induit à un isomorphisme : $$\begin{align}{\Bbb Z}/m{\Bbb Z}&\overset\sim\longrightarrow G\\ [l]&\longmapsto g^l\end{align}$$
Rappel :
Soit \(G\) un groupe cyclique d'ordre \(m=p^\alpha n\), avec \(p\wedge n=1\)
Alors l'unique sous-groupe de \(G\) d'ordre \(d\) est \(\langle g^{m/d}\rangle\)
Proposition :
Soit \(G\) un groupe cyclique d'ordre \(m=p^\alpha n\), avec \(p\wedge n=1\)
Alors le \(p\)-Sylow de \(G\) est \(\langle{g^n}\rangle \)
